while 條件迴圈：不知道要跑幾次？

上一節，你學會了 for 迴圈：告訴電腦「這件事做 N 次」。但如果你不知道 N 是多少呢？

想像你在玩「猜數字」遊戲：電腦心裡想了一個數字，你一直猜，猜對為止。你不知道要猜幾次，可能 3 次就中了，也可能猜 20 次。這種「不知道要跑幾次，跑到某個條件成立為止」的情境，for 迴圈就搞不定了。

為什麼？因為 for i in range(???) 那個 ??? 你根本填不出來。

這就是 while 迴圈登場的時候。

📷 圖 4：for 迴圈已知次數 vs while 迴圈未知次數的四格漫畫（AI 製圖）

💡 📋 學習目標

看完這一節，希望你將能夠：

1. 了解 while 迴圈跟 for 迴圈的差異（已知次數 vs 未知次數）
2. 學會 while 迴圈的語法和執行邏輯
3. 知道「無窮迴圈」是什麼、怎麼避免
4. 用 Trace Table 追蹤 while 迴圈的每一步
5. 解一道經典的 3N+1 猜想 Judge 題 ✧｡٩(ˊᗜˋ)و✧*｡

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你已經知道 for 迴圈適合「確切知道要跑幾次」的場景。但現實中有太多情況是「跑到滿足某個條件為止」。這種需求催生了第二種迴圈。

while 迴圈：跑到條件不成立為止

概念溯源：為什麼需要兩種迴圈？

為什麼要用生活場景來解釋？因為 while 的邏輯跟你每天做的事其實一模一樣。

想想你每天早上的鬧鐘：鬧鐘響了，你按掉繼續睡。鬧鐘又響了，你又按掉。一直到你終於覺得「好吧，再不起來真的要遲到了」，你才起床。

你不知道自己會按幾次貪睡鍵（有時候 2 次，有時候 5 次），但你知道「起床的條件」：快遲到了。

（有些人的條件是「媽媽掀被子」，那個比任何程式都有效 ╮(╯_╰)╭ ）

這就是 while 迴圈的邏輯：「只要條件成立，就一直做某件事。直到條件不成立，才停下來。」

語法長什麼樣？

while 的語法比 for 還簡單：

while 條件:
    要重複做的事

來看一個具體的例子：從 5 倒數到 1：

n = 5
while n > 0:
    print(n)
    n = n - 1

輸出：

5
4
3
2
1

讓我們拆解執行流程：

1. 一開始 n = 5
2. 檢查條件 n > 0 → 5 > 0 是 True → 進入迴圈
3. 印出 5，然後 n = n - 1 → n 變成 4
4. 回到步驟 2，再次檢查條件
5. 重複，直到 n 變成 0，0 > 0 是 False → 離開迴圈

Trace Table：看清 while 的每一步

跟上一節一樣，我們用 Trace Table 來展開：

第幾次	檢查 n > 0	n 的值	輸出	n 更新後
1	True (5 > 0)	5	5	4
2	True (4 > 0)	4	4	3
3	True (3 > 0)	3	3	2
4	True (2 > 0)	2	2	1
5	True (1 > 0)	1	1	0
6	False (0 > 0)	—	—	—

第 6 次檢查時，n 已經是 0，條件 0 > 0 為 False，迴圈結束。

`while` vs `for` 的核心差異

• for i in range(n)：你提前知道要跑幾次（n 次），Python 自動幫你計數
• while 條件：你不知道要跑幾次，Python 每次迴圈開始前檢查條件，True 就繼續，False 就停

「老師，那上面那個倒數的例子，用 for i in range(5, 0, -1) 也可以吧？」

沒錯！如果你知道次數，用 for 通常更簡潔。while 真正厲害的地方，是處理那些你事先不知道要跑幾次的問題。等一下的 Judge 題會讓你深刻體會到這一點。

小心！無窮迴圈

在那之前，有一個超級重要的坑要先提醒你：

⚠️ 無窮迴圈（Infinite Loop）

如果你忘記在迴圈裡更新條件變數，條件永遠是 True，程式就會永遠跑下去，直到你手動停止。

n = 5
while n > 0:
    print(n)
    # ❌ 忘記寫 n = n - 1！
    # n 永遠是 5，5 > 0 永遠是 True
    # 結果：無限印出 5 5 5 5 5...

修正版本：

n = 5
while n > 0:
    print(n)
    n = n - 1  # ✅ 每次減 1，n 最終會變成 0，條件變 False

📌 寫 while 的三步口訣

1. 初始化：在迴圈前設定條件變數的初始值
2. 條件：寫好 while 後面的判斷條件
3. 更新：在迴圈裡面更新條件變數，確保條件最終會變成 False

少了第 3 步 = 無窮迴圈 (ﾟДﾟ；)

📷 圖 5：無窮迴圈的噩夢四格漫畫（AI 製圖）

好了，語法學完、陷阱也知道了。接下來用一道超有趣的數學題來實戰！

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你已經學會了 while 的語法和注意事項。現在來挑戰一道真正需要 while 才解得了的題目。這道題你根本不可能用 for 寫，因為你完全不知道迴圈要跑幾次。

Judge 解題實戰：3N+1 猜想

這道題的數學背景很有趣：它是一個到今天都還沒被證明的猜想，連數學家都還在研究 Σ(ﾟДﾟ)

題目說明

• Input：一行輸入，一個正整數 N（N ≥ 2）
• Output：根據以下規則不斷變換 N，直到 N 變成 1，輸出總共經過幾步

變換規則：

• 如果 N 是偶數 → N = N ÷ 2（整數除法）
• 如果 N 是奇數 → N = 3 × N + 1
• 重複直到 N = 1

範例

Input	Output
6	8
27	111

老師的建議

先試著自己動手！提示：這是一個典型的「不知道要跑幾次」的問題，while 是你的好朋友。

卡關了再看解答！

⚔️3N+1 猜想進階→

Step 1：分析 IPO

• I（Input）：讀取一個正整數 N
• P（Process）：按照「偶數除 2、奇數乘 3 加 1」的規則不斷變換 N，直到 N 變成 1。同時數步數
• O（Output）：印出步數

關鍵問題：你不知道要變換幾步才會到 1。以 N = 6 為例，序列是 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1，共 8 步。但以 N = 27 為例，竟然要 111 步才到 1！

這就是為什麼我們需要 while：因為步數完全不可預測。

Step 2：先畫 Trace Table

在寫程式碼之前，先用 N = 6 手動走一遍：

步數	N（執行前）	N 是偶數？	執行操作	N（執行後）
1	6	✅	6 // 2	3
2	3	❌	3 × 3 + 1	10
3	10	✅	10 // 2	5
4	5	❌	5 × 3 + 1	16
5	16	✅	16 // 2	8
6	8	✅	8 // 2	4
7	4	✅	4 // 2	2
8	2	✅	2 // 2	1

N 變成 1，停下來。總共 8 步。

Step 3：寫出程式碼

有了追蹤表的思路，翻譯成 Python 就很直接了：

# I：讀取輸入
n = int(input())

# P：用 while 迴圈不斷變換
steps = 0
while n != 1:
    if n % 2 == 0:
        n = n // 2
    else:
        n = 3 * n + 1
    steps = steps + 1

# O：印出步數
print(steps)

逐行解讀：

1. n = int(input()) — 讀取正整數 N
2. steps = 0 — 初始化步數計數器
3. while n != 1: — 只要 N 還不等於 1，就繼續跑
4. if n % 2 == 0: — 用 %（取餘數）判斷 N 是偶數還是奇數
5. n = n // 2 — 偶數就除以 2（整數除法）
6. n = 3 * n + 1 — 奇數就乘 3 加 1
7. steps = steps + 1 — 每跑一次迴圈就加 1 步
8. print(steps) — 迴圈結束後，印出總步數

Step 4：在 Judge 上測試

提交看看。N = 6 應該輸出 8，N = 27 應該輸出 111。

常見錯誤排查

• ❌ while n > 1 寫成 while n != 0

  N 永遠不會變成 0（3N+1 規則下，N 最終會到 1 然後停下）。條件要寫 n != 1。

• ❌ n / 2 而不是 n // 2

  / 是浮點除法（結果是小數），// 是整數除法。用 / 的話 n 會變成 3.0 之類的浮點數，後續的 % 運算可能出問題。

• ❌ 忘記 steps = steps + 1

  最後印出的步數永遠是 0。

自己動手試試！

一道搞定了？再來兩道 (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧

位數計算器

⚔️位數計算器基礎→

問題情境：小茵是班上的班長，每學期都要負責整理全班同學和家長的通訊錄。這次她收到了一大堆朋友和家長傳來的電話號碼，長短不一，有些是十位數的手機號碼、有些是八位數加區碼的市話、有些甚至只有三四位數的公司分機。每次手動一個一個數位數實在太累了，她想寫一個小程式，讓電腦自動判斷任何一串數字到底有幾位數，這樣就能快速驗證號碼格式是否正確，省下大量人工核對的時間。請你幫她寫一支程式：輸入一個非負整數 N，計算 N 總共有幾位數並印出來。

🔍 思考引導：

🔀 試著補完這張流程圖...

下面的流程圖有些步驟被 ??? 遮住了，試著想想看遮住的地方應該填什麼：

輸入格式： 第一行：一個非負整數 N（0 ≤ N ≤ 10^9）

輸出格式： 一行，印出 N 的位數（特殊情況：N = 0 時輸出 1）

範例一：

輸入	輸出
12345	5

範例二：

輸入	輸出
0	1

範例說明：

1. 第一步：N = 12345，不是 0，所以從 count = 0 開始計數，進入迴圈
2. 第二步：N = 12345 > 0，count 變成 1，N 變成 12345 // 10 = 1234
3. 第三步：N = 1234 > 0，count 變成 2，N 變成 1234 // 10 = 123
4. 第四步：N = 123 > 0，count 變成 3，N 變成 123 // 10 = 12
5. 第五步：N = 12 > 0，count 變成 4，N 變成 12 // 10 = 1
6. 第六步：N = 1 > 0，count 變成 5，N 變成 1 // 10 = 0
7. 第七步：N = 0，迴圈結束，印出 count = 5

老師的提示

注意 N = 0 是特殊情況——如果讓 0 直接進迴圈，count 永遠不會累加，你可能需要在進入迴圈之前先想好怎麼處理它。

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數字反轉器

⚔️數字反轉器基礎→

問題情境：阿博最近迷上了一個數字鏡像遊戲：把一個數字的每一位順序倒過來，看看會變成什麼。例如 12345 倒過來是 54321，100 倒過來是 1（前導零不算）。他覺得這個遊戲很有趣，常常在上課無聊的時候拿計算紙玩，但數字一旦超過五、六位數，用手算就很容易出錯。於是他決定用剛學會的程式能力來解決這個問題，寫一支程式讓電腦自動完成翻轉，不管輸入多大的數字都能瞬間得到答案。請你幫阿博寫程式：輸入一個正整數 N，輸出它的數字反轉結果。

🔍 思考引導：

🧩 把大問題拆成小問題...

1. 第一步 — 取出最後一位：用 % 運算子可以取出 N 目前的最後一位數字
2. 第二步 — 移除最後一位：用 // 運算子可以把最後一位去掉，讓 N 縮短一位
3. 第三步 — 拼接反轉結果：把剛取出的數字「接」到目前反轉結果的最後面，想想看要怎麼在數學上做到這一點
4. 第四步 — ???：什麼時候應該停止？停止條件是什麼？

輸入格式： 第一行：一個正整數 N（1 ≤ N ≤ 10^9）

輸出格式： 一行，印出 N 的數字反轉結果（不輸出前導零）

範例一：

輸入	輸出
12345	54321

範例二：

輸入	輸出
100	1

範例說明：

1. 第一步：N = 12345，reversed = 0，開始迴圈
2. 第二步：12345 % 10 = 5，reversed = 0 × 10 + 5 = 5，N = 12345 // 10 = 1234
3. 第三步：1234 % 10 = 4，reversed = 5 × 10 + 4 = 54，N = 1234 // 10 = 123
4. 第四步：123 % 10 = 3，reversed = 54 × 10 + 3 = 543，N = 123 // 10 = 12
5. 第五步：12 % 10 = 2，reversed = 543 × 10 + 2 = 5432，N = 12 // 10 = 1
6. 第六步：1 % 10 = 1，reversed = 5432 × 10 + 1 = 54321，N = 1 // 10 = 0
7. 第七步：N = 0，迴圈結束，印出 reversed = 54321

老師的提示

反轉數字的關鍵在於如何把新取出的數字「拼」到結果最後面——想想看，如果 reversed 目前是 32，要把 1 拼到最後面，數學上要怎麼算？

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加總達標步數

⚔️加總達標步數基礎→

問題情境：小婷從高一開始就養成了存零用錢的好習慣，她給自己訂了一個簡單的規則：第一個月存 1 元、第二個月存 2 元、第三個月存 3 元，依此類推，每個月比上個月多存 1 元。最近她看上了一款限量版的繪圖板，需要存到一筆目標金額才買得起。她很好奇，按照這個存錢計畫，到底至少要存幾個月，累計存款才能達到或超過她設定的目標金額 S 元？與其自己拿紙筆慢慢加，不如寫一支程式讓電腦幫忙算。請你幫小婷完成這支程式，輸入目標金額 S，輸出她最少需要存幾個月。

🔍 思考引導：

🔀 試著補完這張流程圖...

下面的流程圖有些步驟被 ??? 遮住了，試著想想看遮住的地方應該填什麼：

輸入格式： 第一行：一個正整數 S（1 ≤ S ≤ 5000）

輸出格式： 一行，印出加了幾個整數才讓總和達到或超過 S

範例一：

輸入	輸出
10	4

範例二：

輸入	輸出
1	1

範例說明：

1. 第一步：S = 10，total = 0，count = 0，n = 0，開始迴圈
2. 第二步：total = 0 < 10，n 變成 1，total = 0 + 1 = 1，count = 1
3. 第三步：total = 1 < 10，n 變成 2，total = 1 + 2 = 3，count = 2
4. 第四步：total = 3 < 10，n 變成 3，total = 3 + 3 = 6，count = 3
5. 第五步：total = 6 < 10，n 變成 4，total = 6 + 4 = 10，count = 4
6. 第六步：total = 10，已達到 S = 10，迴圈結束，印出 count = 4

老師的提示

用 while total < s: 作為條件，每輪加入下一個整數並讓計數器加一。注意：更新「下一個整數」（讓它加一）不要忘記，否則會無窮迴圈。

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最大公因數（GCD）

⚔️最大公因數（GCD）進階→

問題情境：阿達在音樂課學到「節拍」的概念後，想用數學來解決一個問題：兩段音樂的節拍分別是 A 拍和 B 拍，如果要把它們合在一起演奏，就需要找到一個能整除兩者的最大公同拍數，這樣才能讓兩段旋律完美對齊。老師告訴他，這其實就是求最大公因數的問題。阿達上網查了資料，發現有一個古老又優雅的方法叫「輾轉相除法」，據說是古希臘數學家歐幾里得兩千多年前就發明的，至今仍被廣泛使用。請你幫阿達寫程式：輸入兩個正整數 A 和 B，用輾轉相除法求出它們的最大公因數。

🔍 思考引導：

💭 如果用數學來表達...

$$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$$

其中 $amodb$ 是 $a$ 除以 $b$ 的餘數。這個公式說的是：兩個數的最大公因數，等於「較小的數」和「餘數」的最大公因數。當 $b$ 變成 0 時，$gcd(a,0)=a$，這就是答案。

🔀 試著補完這張流程圖...

下面的流程圖有些步驟被 ??? 遮住了，試著想想看遮住的地方應該填什麼：

輸入格式： 第一行：正整數 A（1 ≤ A ≤ 10000） 第二行：正整數 B（1 ≤ B ≤ 10000）

輸出格式： 一行，印出 A 和 B 的最大公因數

範例一：

輸入	輸出
48 18	6

範例二：

輸入	輸出
100 75	25

範例說明：

1. 第一步：A = 48，B = 18，B ≠ 0，繼續迴圈；48 ÷ 18 = 2 餘 12，所以 A = 18，B = 12
2. 第二步：A = 18，B = 12，B ≠ 0，繼續迴圈；18 ÷ 12 = 1 餘 6，所以 A = 12，B = 6
3. 第三步：A = 12，B = 6，B ≠ 0，繼續迴圈；12 ÷ 6 = 2 餘 0，所以 A = 6，B = 0
4. 第四步：B = 0，迴圈結束，印出 A = 6

老師的提示

輾轉相除法的精髓是同時更新兩個變數：新的 A 是舊的 B，新的 B 是舊的 A 對 B 取餘數。注意更新順序——如果先改了 A，算餘數時就用不到原本的 A 了。

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數位根

⚔️數位根進階→

問題情境：小雯週末在圖書館翻閱一本數學趣味讀物時，看到一個讓她眼睛一亮的神奇數字遊戲：把一個數的各位數字加總，如果結果還是多位數，就再加總一次，一直重複到只剩個位數為止，這個最終結果叫做「數位根」。書上舉的例子讓她印象深刻：9875 先算 9+8+7+5=29，再算 2+9=11，最後 1+1=2，所以 9875 的數位根是 2。小雯覺得這個規則很適合用迴圈來實作，於是決定挑戰看看。請你幫小雯寫程式：輸入正整數 N，輸出它的數位根。

🔍 思考引導：

🔀 試著補完這張流程圖...

下面的流程圖有些步驟被 ??? 遮住了，試著想想看遮住的地方應該填什麼：

輸入格式： 第一行：一個正整數 N（1 ≤ N ≤ 1000000）

輸出格式： 一行，印出 N 的數位根（1 到 9 之間的整數）

範例一：

輸入	輸出
493	7

範例二：

輸入	輸出
9875	2

範例說明：

1. 第一步：N = 493，位數超過 1 位，進入外層迴圈，開始計算各位數之和
2. 第二步：493 % 10 = 3，total = 3，N = 49；49 % 10 = 9，total = 12，N = 4；4 % 10 = 4，total = 16，N = 0；內層迴圈結束
3. 第三步：N = total = 16，位數超過 1 位，再次進入外層迴圈
4. 第四步：16 % 10 = 6，total = 6，N = 1；1 % 10 = 1，total = 7，N = 0；內層迴圈結束
5. 第五步：N = total = 7，是個位數，外層迴圈結束，印出 7

老師的提示

用 while n >= 10: 作為外層條件，每輪用 while n > 0: total += n % 10; n //= 10 計算各位數總和，再令 n = total。

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完美數判斷

⚔️完美數判斷進階→

問題情境：阿誠在數學課學到「完美數」這個概念：如果一個正整數恰好等於它所有真因數（除了自身以外的因數）的總和，就叫做完美數。例如 6 的真因數是 1、2、3，而 1+2+3=6，所以 6 是完美數；但 12 的真因數和是 1+2+3+4+6=16≠12，所以 12 不是。阿誠對此非常著迷，他聽老師說歷史上的數學家花了好幾百年才找到少數幾個完美數，而且至今還沒有人知道完美數到底有無限多個還是有限個。他迫不及待想寫一支程式來驗證任意數是否為完美數，請你幫他完成。

🔍 思考引導：

💭 如果用數學來表達...

$$\text{若}\sum _{\begin{array}{c}d=1\\ d\mid N\end{array}}^{N-1}d=N\text{，則 }N\text{ 是完美數}$$

其中 $d\mid N$ 表示 $d$ 能整除 $N$（即 $Nmodd=0$）。你需要從 1 開始，一路檢查到 $N-1$，把所有能整除 $N$ 的數加起來，最後看總和是否等於 $N$。

🔀 試著補完這張流程圖...

下面的流程圖有些步驟被 ??? 遮住了，試著想想看遮住的地方應該填什麼：

輸入格式： 第一行：一個正整數 N（1 ≤ N ≤ 10000）

輸出格式： 如果 N 是完美數，印出 Yes；否則印出 No

範例一：

輸入	輸出
6	Yes

範例二：

輸入	輸出
12	No

範例說明：

1. 第一步：N = 6，d 從 1 開始，total = 0
2. 第二步：d = 1，6 % 1 = 0，total = 0 + 1 = 1，d 變成 2
3. 第三步：d = 2，6 % 2 = 0，total = 1 + 2 = 3，d 變成 3
4. 第四步：d = 3，6 % 3 = 0，total = 3 + 3 = 6，d 變成 4
5. 第五步：d = 4，6 % 4 = 2 ≠ 0，跳過，d 變成 5
6. 第六步：d = 5，6 % 5 = 1 ≠ 0，跳過，d 變成 6
7. 第七步：d = 6 = N，迴圈結束，比較 total = 6 是否等於 N = 6？是，印出 Yes

老師的提示

用 while 或 for 迴圈從 1 跑到 n-1，累加所有能整除 n 的數。最後比較總和是否等於 n。

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到這裡，你已經學會了兩種迴圈：for（我知道要跑幾次）和 while（跑到條件不成立為止）。但你有沒有想過：如果迴圈跑到一半，我突然想「不跑了」或「跳過這一次」呢？

目前你只能等條件自然變成 False 才能離開迴圈。下一節會教你兩個強大的迴圈控制指令，讓你能在迴圈中途「踩煞車」或「按快轉」。

本節小結

🎯 重點回顧：

• while 條件: 讓電腦重複執行，直到條件變成 False
• for 適合已知次數，while 適合未知次數
• 寫 while 的三步口訣：初始化 → 條件 → 更新
• 無窮迴圈：忘記更新條件變數 = 程式永遠跑不完
• Trace Table 是追蹤迴圈的萬用工具，while 也一樣適用
• 3N+1 猜想：一個到今天都沒被證明的數學問題，但 while 幾行就能模擬

📝 下一節：「迴圈控制：break 與 continue」：

如果迴圈跑到一半，你找到了想要的東西，不想再跑了，怎麼辦？如果某一輪遇到了不需要處理的情況，想直接跳到下一輪，又怎麼辦？下一節會教你 break（強制離開）和 continue（跳過這一輪），讓你對迴圈有更精細的控制。